El matemático estadounidense John Milnor obtuvo el premio Abel de matemáticas de 2011 por sus trabajos de topología, geometría y álgebra. Para Milnor, que tiene ochenta años, el premio es un broche de oro a una trayectoria brillante, el jurado que le concedió el galardón calificó su obra de perspicaz, imaginativa y de gran belleza.
Al matemático estadounidense se le destaca por su hallazgo en 1956 de las esferas lisas exóticas en siete dimensiones, una demostración que inició la andadura de la topología diferencial. Luego, en colaboración con Michel Kervaire, mostró que la 7-esfera tiene 15 estructuras diferenciables (28 si se considera la orientación). Milnor refutó algunos teoremas de la topología combinatoria de la época de Poincaré y descubrió variedades suaves homeomorfas con fibrados tangentes no isomorfos, a partir de lo cual desarrolló la teoría de los microfibrados. En teoría de variedades de dimensión 3 demostró un elegante teorema de factorización única. Aparte de contribuir al campo de la topología, Milnor ha hecho importantes aportaciones en las áreas de geometría diferencial, álgebra y sistemas dinámicos.
Sus ideas y enfoques han tenido un fuerte impacto en el desarrollo de todas las disciplinas que ha abordado. Su monografía sobre singularidades aisladas de hipersuperficie se considera la obra más influyente en teoría de las singularidades; a ella le debemos los nombres de número de Milnor y fibración de Milnor. La geometría diferencial es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático, los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables y las nociones de conexión y curvatura. Las esferas exóticas de Milnor son espacios torsionados, formas torsionadas son también la cinta de Möbius y la botella de Klein.
Botella de Klein.
Anillo de Möbius
Hiperesfera
Parece ser que el primer autor que aludió a la topología fue W. Leibniz, así lo reconoció L. Euler: Además de aquella parte de la geometría que trata sobre cantidades y que se ha estudiado en todo tiempo con gran dedicación, el primero que mencionó la otra parte, hasta entonces desconocida, fue G. Leibniz, el cual la llamó geometría de la posición. Leibniz determinó que esta parte se tenía que ocupar de la sola posición y de las propiedades provenientes de la posición en todo lo cual no se ha de tener en cuenta las cantidades, ni su cálculo... Por ello, cuando recientemente se mencionó cierto problema que parecía realmente pertenecer a la geometría, pero estaba dispuesto de tal manera que ni precisaba la determinación de cantidades ni admitía solución mediante el cálculo de ellas, no dudé en referirlo a la geometría de la posición... La topología aparece en el siglo diecisiete con el nombre de análisis de la posición (analysis situs).
Parece ser que el primer autor que aludió a la topología fue W. Leibniz, así lo reconoció L. Euler: Además de aquella parte de la geometría que trata sobre cantidades y que se ha estudiado en todo tiempo con gran dedicación, el primero que mencionó la otra parte, hasta entonces desconocida, fue G. Leibniz, el cual la llamó geometría de la posición. Leibniz determinó que esta parte se tenía que ocupar de la sola posición y de las propiedades provenientes de la posición en todo lo cual no se ha de tener en cuenta las cantidades, ni su cálculo... Por ello, cuando recientemente se mencionó cierto problema que parecía realmente pertenecer a la geometría, pero estaba dispuesto de tal manera que ni precisaba la determinación de cantidades ni admitía solución mediante el cálculo de ellas, no dudé en referirlo a la geometría de la posición... La topología aparece en el siglo diecisiete con el nombre de análisis de la posición (analysis situs).
La topología se ocupa de aquellas propiedades de las figuras que permanecen invariantes, cuando dichas figuras son plegadas, dilatadas, contraídas o deformadas, de modo que no aparezcan nuevos puntos, o se hagan coincidir puntos diferentes. La transformación permitida presupone que hay una correspondencia biunívoca entre los puntos de la figura original y los de la transformada, y que la deformación hace corresponder puntos próximos a puntos próximos. Esta última propiedad se llama continuidad, y lo que se requiere es que la transformación y su inversa sean ambas continuas: así se trabaja con homeomorfismos. El topólogo considera los mismos objetos que el geómetra, pero de modo distinto: no se fija en las distancias o los ángulos, ni siquiera de la alineación de los puntos. Para el topólogo un círculo es equivalente a una elipse; una bola no se distingue de un cubo: se dice que la bola y el cubo son objetos topológicamente equivalentes, porque se pasa de uno al otro mediante una transformación continua y reversible.
El primer autor en usar la palabra topología fue J.B. Listing, alumno de Gauss, profesor de B. Rienmann y co-descubridor de la cinta de Möbius. Al parecer J.B. Listing tuvo una vida económica agitada, mientras investigaba los objetos torsionados tuvo que lidiar con las consecuencias de inversiones financieras desafortunadas, vivía por encima de sus posibilidades y prestaba dinero de un modo arriesgado. Su mujer no le iba a la zaga, trataba mal a los trabajadores domésticos, abusaba del crédito y tuvo problemas con la justicia, estas circunstancias disminuyeron el prestigio de Listing en la comunidad matemática y su obra sufrió cierta marginación. Sin embargo Listing fue un pionero en el estudio de los objetos homeomorfos, como decíamos más arriba dos objetos son homeomorfos si el primero de ellos se puede estirar, doblar o deformar para adoptar la forma del segundo. El cuadrado y el círculo son homeomorfos, una esfera hueca que contenga una bola sólida en su interior es homeomorfa a una esfera hueca con una bola sólida en su exterior. Transformar un donut o rosquilla en una taza de café es un ejemplo típico de homeomorfía, el agujero de la rosquilla se convierte en el asa, con su agujero, de la taza. Por el contrario, la superficie de la roquilla (que es un toroide) no es la misma que la superficie de la esfera, es decir, el homeomorfismo prohíbe que se efectúen cortes, perforaciones y uniones para convertir un objeto en otro.
De todos los discípulos de Gauss, el que realizó mayores contribuciones a la topología fué B. Riemann. En su tesis doctoral de 1851 introdujo conceptos topológicos en el estudio de las funciones de variable compleja. Una gran aportación de este autor fue la noción de lo que después se ha llamado superficie de Riemann, el estudio de estas superficies sigue siendo en la actualidad un campo activo de investigación. En 1854 introdujo una variedad en n dimensiones, de modo que se colocan juntos de manera uniforme y regular pequeñísimos trozos del espacio euclídeo en n dimensiones.
Esta variedad admite una estructura diferencial cuando es posible extender a ella el cálculo diferencial habitual del espacio en n dimensiones. Por ejemplo, una esfera puede considerarse como una pelota de trapo constituida por muchos parches muy pequeños y planos, que se superponen unos a otros de manera uniforme y regular. Al mismo tiempo, la estructura global de la pelota se puede reducir, por un lado, a la estructura de cada parche pequeño y plano y, por el otro, a su posición respecto de un sistema de referencia canónico, como la retícula de los meridianos y los paralelos.
Esta manera de construir los objetos permite extender a la esfera el cálculo diferencial, es decir, todo el instrumental de derivadas e integrales que originalmente fue diseñado para el plano euclídeo. Alrededor de 1865 Möbius, que también estudió con Gauss, escribió un artículo sobre poliedros en el que consideraba a éstos como una colección de polígonos unidos. En su estudio descubrió la cinta que lleva su nombre. También físicos como Maxwell, Helmholtz y Kelvin aplicaron ideas topológicas en sus respectivos estudios. La idea de conexión es descrita con rigor por H. Poincaré en una serie de artículos bajo el título de “Analysis situs” en 1895. Poincaré introduce el concepto de homología y da una definición precisa de los números de Betti asociados a un espacio. E. de Jonquières generaliza en 1890 la fórmula para poliedros convexos de Euler a poliedros no necesariamente convexos. Asimismo, en relación con la conexión, Poincaré introduce el concepto de grupo fundamental de una variedad y la noción de homotopía.
Esta variedad admite una estructura diferencial cuando es posible extender a ella el cálculo diferencial habitual del espacio en n dimensiones. Por ejemplo, una esfera puede considerarse como una pelota de trapo constituida por muchos parches muy pequeños y planos, que se superponen unos a otros de manera uniforme y regular. Al mismo tiempo, la estructura global de la pelota se puede reducir, por un lado, a la estructura de cada parche pequeño y plano y, por el otro, a su posición respecto de un sistema de referencia canónico, como la retícula de los meridianos y los paralelos.
Esta manera de construir los objetos permite extender a la esfera el cálculo diferencial, es decir, todo el instrumental de derivadas e integrales que originalmente fue diseñado para el plano euclídeo. Alrededor de 1865 Möbius, que también estudió con Gauss, escribió un artículo sobre poliedros en el que consideraba a éstos como una colección de polígonos unidos. En su estudio descubrió la cinta que lleva su nombre. También físicos como Maxwell, Helmholtz y Kelvin aplicaron ideas topológicas en sus respectivos estudios. La idea de conexión es descrita con rigor por H. Poincaré en una serie de artículos bajo el título de “Analysis situs” en 1895. Poincaré introduce el concepto de homología y da una definición precisa de los números de Betti asociados a un espacio. E. de Jonquières generaliza en 1890 la fórmula para poliedros convexos de Euler a poliedros no necesariamente convexos. Asimismo, en relación con la conexión, Poincaré introduce el concepto de grupo fundamental de una variedad y la noción de homotopía.
Superficies de Riemann
Hasta 1952 se creía que todas las variedades de Riemann, bidimensionales o tridimensionales, así como todos los espacios euclídeos de dimensión distinta de 4, admiten una única estructura diferencial. Fue precisamente Milnor el que sorprendió a la comunidad matemática al mostrar en 1956 que la esfera en 7 dimensiones admite veintiocho estructuras diferenciales. Otros topólogos actuales con descubrimientos interesantes en su haber son Novikov, M. Freedman, S. Donaldson, Taubes, Gompf y E. Witten. Hasta el momento se sabe que la esfera en 2, 3, 5 y 6 dimensiones tiene una sola estructura diferencial. Si se confirma que la esfera en 4 dimensiones no tiene más de una estructura diferencial, la teoría de Milnor para la esfera en 7 dimensiones demostrará ser la más consistente. A tener en cuenta que el número de las estructuras diferenciales depende mucho del número de dimensiones, aunque siempre sea finito en el caso distinto de 4. Por ejemplo, en 8 dimensiones hay 2; en 11 dimensiones, 922; en 12 dimensiones, 1; en 15 dimensiones, 16.256; en 31 dimensiones, más de 16 millones.
Muchos nos preguntamos si las esferas exóticas y otros objetos similares tienen aplicación en la vida real, pero hay que tener en cuenta que a veces los teoremas matemáticos permanecen olvidados hasta que hallan utilidad en física, química o biología. Imaginar hiperesferas y objetos de más de tres dimensiones es difícil y requiere una intuición y herramientas de cálculo propias de especialistas. No obstante, algunos autores entienden que los objetos n-dimensionales tienen validez en la economía. Podemos analizar una inversión, por ejemplo comprar acciones de una empresa, reduciendo a secuencias numéricas los datos de la empresa en cuestión. Estos números se consideran puntos de un espacio multidimensional; en ese caso el inversor analizaría otras empresas similares para localizar una región de ese espacio multidimensional, la región que revele acertada la compra de acciones.
